Taux d'évolution

1. Pourcentage d'évolution et coefficient multiplicateur

Définitions

• Si on augmente une valeur de départ \(V_D\)  de  \(t\,\%\) , sa valeur d'arrivée \(V_A\) après l'augmentation est donnée par la formule :  \(V_A=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)V_D\) .
  

Le coefficient multiplicateur associé à cette hausse est :  \(C_M=\left(1+\dfrac{t}{100}\right)\) .

• Si on diminue une valeur \(V_D\)  de    \(t\,\%\) , sa valeur \(V_A\)  après la diminution est donnée par la formule : \(V_A=\left(1-\dfrac{t}{100}\right)V_D\) .
  

Le coefficient multiplicateur associé à cette diminution est :  \(C_M=\left(1-\dfrac{t}{100}\right)\) .

• Dans les deux cas : \(V_A=C_M \times V_D\)
  

\(~\quad\quad\quad\quad\quad\quad\quad \quad\quad C_M=\dfrac{V_A}{V_D}\)

                   \(~~\quad\quad\quad\quad\quad V_D=\dfrac{V_A}{C_M}\)              

Propriétés

• Un coefficient multiplicateur est toujours positif.
  
• \(C_M>1\)   si et seulement si il est associé à une augmentation. Dans ce cas :   
  

                                                           `t=100\times (C_M-1)` .

• \(C_M<1\)   si et seulement si il est associé à une diminution. Dans ce cas :
  

                                                          `t=100\times (1- C_M) .`

Exemples

1. Une action en bourse à \(34\) € augmente de `2\%` .

Le coefficient multiplicateur est égal à : \(1+\dfrac{2}{100}=1{,}02\) . Après l'augmentation, l'action est à :  \(1{,}02\times 34=34{,}68\) €.

2. Le prix d'un pantalon est de \(70\) €. Pendant les soldes, son prix baisse de `20 \%` .
Son nouveau prix est égal à \(\left(1-\dfrac{20}{100}\right)\times 70=0{,}8\times 70=56\) €.

3. Paris comptait \(2{,}24\)  millions d'habitants en 2010 et  \(2{,}1\)  millions d'habitants en 2023.  \(1-0{,}9375=0{,}0625\) . La population parisienne a donc baissé de \(6{,}25~\%\)  entre2010 et 2023.

4. Après une hausse de  \(8\,\%\) ,  le prix d'un article est de \(86{,}40\) €.

\(V_A=86{,}40\) et \(C_M=1{,}08.\)

La relation \(V_A=C_M \times V_D\) permet de trouver la valeur initiale : \(\) \(V_D=\dfrac{V_A}{C_M}=\dfrac{86{,}40}{1{,}08}=80\) .

L'article coûtait donc \(80\) € avant l'augmentation.

2. Évolutions successives

Définition

Une grandeur passe d'une valeur initiale \(V_D\) à une valeur finale \(V_A\) en subissant plusieurs évolutions successives.

• Le coefficient multiplicateur global est défini par : \(C_{ \text{global}}=\dfrac{V_A}{V_D}\) .
  
• \(C_{ \text{global}}\) est égal au produit des coefficients multiplicateurs associés aux différentes évolutions.

Définition

Si  la valeur initiale subit `n` évolutions successives, le coefficient multiplicateur moyen `C_{\text{moyen}}` est le réel défini par : \(C_{\text{moyen}}=(C_{ {\text{global}}})^{\frac{1}{n}}\) .                                   \(\)

En particulier : \((C_{\text{moyen}})^n=C_{{\text{global}}}=C_{1}\times C_{2}\times ... \times C_{n}\) .

`n` évolutions identiques associées à `C_\text{moyen}` font donc passer de \(V_D\) à \(V_A\) .       

Remarque   On dit que \(C_\text{moyen}\) est la moyenne géométrique des nombres \(C_{1}; \, C_{2}\,; ... ; C_{n}.\)